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rieure d'une carafe, par exemple)-De même pour un continuum non euclidien à trois dimensions (espace « non euclidien » ou à quatre dimensions (« espacetemps non euclidien »).

Qu'est-ce qu'un espace-temps euclidien ? En généralisant les formules des géométries euclidiennes à deux et trois dimensions, on trouve (par le calcul) qué l'espace-temps « euclidien » est celui où un mobile, abandonné à lui-même, décrit une ligne droite d'un mouvement uniforme.

C'est justement le cas de l'espace-temps considéré dans la théorie de la Relativité restreinte (l'« Univers de Minkowski »), où on applique la fameuse loi d'inertie de Galilée: «Tout corps abandonné à lui-même, loin de tout autre corps matériel, prend un mouvement rectiligne et uniforme par rapport à des axes de Galilée. »

Mais pour que cet espace-temps corresponde à la réalité, il faut supprimer les effets de la pesanteur, en s'éloignant indéfiniment de toute espèce de masse matérielle mais c'est impossible ou les compenser en prenant un système de référence convenable : mais nous avons vu que cela ne peut se faire que dans un domaine suffisainment petit. D'où cette conséquence très importante: les résultats de la relativité restreinte ne sont valables. autour de chaque point, que dans une région limitée de l'espace-temps (1). Ces résultats

(1) Théoriquement même, ils ne sont valables que pour un observateur en chute libre, et dans un domaine infiniment petit; mais pratiquement, jusqu'à une certaine étendue les approximations de nos mesures sont très suffisantes

ne sont, si on veut considérer des régions étendues de l'espace ou des durées très longues, que des approximations: certes, ces approximations sont plus précises que celles de la mécanique ordinaire (qui cependant suffit dans des bien des cas), mais ce ne sont que des à peu près: il faut aller plus loin.

Ainsi, puisque nous ne pouvons pas trouver un espace-temps euclidien (ou univers de Minkowski) qui rende compte de tous les phénomènes observés et observables, cela prouve que l'Espace-Temps réel n'est pas euclidien.

Mais comment traiter des problèmes comme celui de la gravitation, dans un Espace-Temps qui ne suit pas les règles de la géométrie ordinaire ?

Si encore, par un choix convenable de coordonnées, on pouvait s'arranger de façon à avoir, pour une valeur déterminée de la variable « temps » un espace (ou une « coupe d'Univers à temps donné » comme on dit en mathématiques) qui soit euclidien... Mais le calcul montre que cela même est impossible.

Voilà qui va paraître étrange: comment ? L'espace n'est pas euclidien ? Alors cela veut dire qu'on ne peut pas, dans notre espace, tirer pratiquement une ligne droite rigoureusement parallèle à une autre... et qu'on ne peut même pas tirer une ligne qui soit rigoureusement une ligne droite ? Il nous semble cependant évident qu'on peut le faire.

Oui, cela semble évident, car les différences entre notre espace pratique (à 3 dimensions) et un espace euclidien sont très peu sensibles elles sont, notamment, beaucoup moins appréciables que les différences entre l'espace-temps réel (à quatre dimensions)

et un espace-temps euclidien. Mais elles existent et il faut en tenir compte dans une théorie complète.

XIV.

Expression

Les coordonnées de Gauss.
exacte du principe de relativité généralisée.

Mais alors, tout ce que nous avions fait jusqu'ici s'écroule en effet, nous avions considéré jusqu'alors des systèmes de référence où il existait des corps solides, des lignes droites... Tout cela n'existe plus. ou plutôt correspond à de simples approximations, valables seulement dans des régions suffisamment petites... Pour traiter les problèmes les plus généraux, comme celui de la gravitation, nous ne pouvons plus rien utiliser de ce qui nous a servi jusqu'ici. S'il ne reste rien, il faut recommencer. C'est ce qu'a fait Einstein. D'où est-il donc parti pour recommencer? D'une généralisation des « coordonnées de Gauss ».

Nous avons déjà parlé (Chap. x) « des coordonnées >> ordinaires, et montré qu'on pouvait déterminer, sur un plan, la position d'un point par des intersections de deux familles de droites formant un carroyage du plan. Eh bien, à la place de deux «< familles » de droites, les unes horizontales et les autres verticales, on peut définir les points d'un plan par deux « familles » de lignes quelconques, courbes (et même sinueuses, si l'on veut) il suffit pour cela que les lignes de chaque famille ne se rencontrent pas les unes les autres, et soient suffisamment rapprochées entre elles pour

permettre la précision désirée, et que, de plus, chaque courbe d'une même famille rencontre toutes celles de l'autre. Chaque ligne étant numérotée. on peut ainsi repérer un point quelconque par l'intersection d'une ligne numéro N de la première famille avec une ligne num ro P de la deuxième famille.

L'intérêt de ce dernier procédé, c'est qu'il s'applique non pas seulement au plan, mais à des surfaces absolument quelconques ainsi on repère généralement les points de la surface terrestre au moyen de deux familles de courbes, les méridiens et les parallèles (1) ; de même on peut repérer les points de la surface d'une carafe au moyen de deux familles de courbes numérotées tracées sur la carafe. C'est ce qu'on appelle les coordonnees de Gauss.

Gauss a démontré que, malgré l'emploi de courbes arbitraires pour définir les points de la surface considérée, il existe des relations qui permettent de mettre en évidence la courbure de la surface en chaque point.

Et ceci est très important, car nous voyons que des êtres n'ayant que deux dimensions (les « poux de surface» comme on les appelle quelquefois familierement) pourraient ainsi, par des simples mesures d'arpentage propres à leur surface et sans la quitter, avoir des notions sur la nature de leur surface, savoir

(1) Il y a une objection grave contre l'une des familles, celle des méridiens: en effet tous les méridiens se coupent entre eux aux pôles. Il en résulte que la détermination des points de la terre par méridiens et parallèles est incorrecte pour ces deux points (points « singuliers ») qui sont les pôles. Mais comme elle est correcte (et même présente de grands avantages pratiques) pour tous les autres points, il n'en résulte aucun inconvénient.

si elle est euclidienne ou non, et même connaître la courbure totale en chaque point (2).

Eh bien, si notre espace-temps n'est pas euclidien, nous aurons tout de même quelques renseignements sur lui, grâce à la généralisation de la théorie des surfaces de Gauss. Cette généralisation se présente, pour l'espace à trois dimensions, sous la forme suivante de petites « cellules » (correspondant dans ie continuum à trois dimensions, aux « carreaux » considérés précédemment pour deux dimensions) formées par trois familles de surfaces numérotées. On peut alors définir un point par l'intersection de trois de ces surfaces, prises chacune avec son numéro propre dans une famille différente.

Pour l'espace-temps à quatre dimensions, on peut encore déterminer un point de ce « continuum » par quatre « coordonnées» arbitraires. Pour nous montrer ce que cela peut bien représenter pratiquement, Einstein a introduit la notion de « mollusque de référence » :

« On utilise des systèmes de référence non solides, qui non seulement sont animés d'un mouvement arbitraire d'ensemble, mais encore subissent, pendant leur mouvement, des changements de forme arbitraires. Pour définir le temps, on se sert d'horloges de marche absolument arbitraire, si irrégulière soit

1

RR

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(2) On appelle courbure totale l'expression R1 et Ra étant les rayons de courbure « principaux » au point considéré, c'est-à-dire les rayons de courbure de deux lignes particulièrement importantes tracées sur la surface par le point en question.

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