ARITHMÉTIQUE. N° 1. I. Définitions.-Qu'appelle-t-on grandeur ou quantité, unité, nombre, nombre abstrait et nombre concret? II. Numération. - 1. Objet de la numération. Son principe fondamental. 2. Différents ordres d'unités. 3. Changements que subit un nombre lorsqu'on écrit à sa droite ou lorsqu'on y supprime un ou plusieurs zéros. I. DÉFINITIONS. L'Arithmétique est la partie des Sciences Mathématiques qui enseigne à effectuer diverses opérations sur les nombres. GRANDEUR OU QUANTITÉ. On appelle grandeur ou quantité tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution. La grandeur est continue, lorsqu'elle présente à l'esprit un tour sans parties distinctes, comme la toise, le mètre, etc.; elle est discontinue, lorsqu'elle est composée de parties essentiellement séparées, qui ne s'unissent en un tout que dans notre esprit, comme huit chevaux, vingt hommes, etc. UNITÉ. On appelle unité la quantité qui sert de terme de comparaison dans l'évaluation des grandeurs de même espèce. Dans ce sens, l'unité est conventionnelle et variable à l'infini. NOMBRE. On appelle nombre l'assemblage de plusieurs unités homogènes (de même nature). NOMBRE ABSTRAIT ET NOMBRE CONCRET. On appelle nombre abstrait celui qui ne désigne pas l'espèce de ses unités, comme deux, trois, quatre, etc.; et nombre concret, celui qui la dési gne, comme deux hommes, trois chevaux, quatre ans, etc. II. NUMERATION. 1. SON OBJET ET SON PRINCIPE FONDAMENTAL. La numération est l'art de former, d'écrire et d'énoncer tous les nombres avec une quantité limitée de caractères ou chiffres. Elle a pour principe fondamental la convention qui 7. Baccalauréat. Ile Partie. 67 attribue au même chiffre deux valeurs : l'une absolue, indépendante de sa place, et par conséquent fixe; l'autre relative, dependante de sa place, et par conséquent variable. La numération emploie dix caractères ou chiffres, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, o. Les neuf premiers ont une valeur intrinsèque réelle comme représentant les neuf premiers nombres; ils sont dits chiffres significatifs. Le dernier, appelé zéro, n'a par ui-même aucune valeur; il est destiné à suppléer les unités qui manquent, et il jouit de la propriété de communiquer aux chiffres qui l'accompagnent la même valeur relative que s'il avait une valeur intrinsèque. 2. DIFFÉRENTS ORDRES D'UNITÉS. Dans le système de numération que l'on emploie ordinairement et que l'on nomme système décimal, tout chiffre placé à la gauche d'un autre chiffre, vaut dix fois plus que s'il était seul; placé à la gauche de deux autres chiffres, il vaut cent fois plus; mille fois plus, s'il occupe la quatrième place, etc. Soit 4444: le premier chiffre 4 à droite vaut 4 unités; le second chiffre 4 vaut dix fois 4 ou 40; le troisième chiffre 4 vaut cent fois 4 ou 400; le quatrième chiffre 4 vaut mille fois 4 ou 4000; ainsi tont nombre exprimé en chiffres est partagé en collections d'unités de différents ordres, qui sont de dix en dix fois plus grandes, en allant de droite à gauche; s'il manque une unité d'un ordre quelconque, on la remplace par le zéro. Les divers ordres d'unités sont appelés, unité, dizaine, centaine; -mille, dizaine de mille, centaine de mille; million, dizaine de millions, etc. Les noms de dizaine et de centaine se répétant de trois en trois ordres, il faut, pour énoncer un nombre, le partager, de droite à gauche, en tranches de trois chiffres, qui toutes se comptent séparément de la même manière et se distinguent par leurs dénominations. Exemple : 307, ou 307 millions, 540, 029. 3. UN OU PLUSIEURS ZEROS ÉCRITS OU SUPPRIMÉS A LA DROITE D'UN NOMBRE. (D'après ce qui précède, on voit qu'en écrivant à la droite d'un nombre un, deux, trois, etc., zéros, on rend ce nombre dix, cent, mille fois plus grand, et (que) réciproquement on le rend dix, cent, mille fois plus petit, en supprimant à la droite de ce nombre, un, deux, trois, etc., zéros. 1. Objet de cette opération. ---- 2. Règle. 3. Pourquoi commence-t-on le calcul par la droite? 4. Preuve de l'addition par l'addition méme. II. Soustraction. - 1. Explication de cette opération. preuve par l'addition. - 219 2. Sa I. ADDITION. I. OBJET DE CETTE OPÉRATION. L'addition a pour objet de réunir plusieurs nombres en un seul, qu'on appelle le total ou la somme. 2. RÈGLE DE L'ADDITION. Pour faire une addition, on écrit les nombres à réunir les uns sous les autres, de manière que les unités de même ordre se correspondent dans une même colonne verticale; on souligne le dernier nombre pour le séparer du résultat; on ajoute successivement, en commençant par la droite, les nombres contenus dans chaque colonne; si la somme obtenue ne passe pas 9, on l'écrit sous cette colonne ; si elle renferme des dizaines, on les retient pour les réunir à la colonne suivante, et l'on n'écrit que l'excédant des unités. Enfin, à la dernière colonne, on écrit la somme telle qu'on l'a trouvée. Exemple: 547745 802617 3. RAISON POUR LAQUELLE ON COMMENCE LE CALCUL PAR LA DROITE. On commence le calcul par la droite, parce que les dizaines contenues dans chaque colonne doivent être réunies aux unités de la colonne à gauche. Si l'on procédait dans l'ordre' inverse, le résultat des additions partielles ferait presque toujours refluer des dizaines d'une colonne à l'autre, et l'on serait continuellement obligé de revenir sur les chiffres obtenus pour les modifier. 4. PREUVE. On appelle preuve d'une opération une seconde opération qui a pour but de montrer l'exactitude de la pre mière. PREUVE DE L'ADDITION PAR L'ADDITION MÊME. La preuve de l'addition se fait par l'addition méme. Pour cela, on sépare par une ligne le premier des nombres, on additionne les autres entre eux, puis on ajoute à leur somme le nombre qui a été séparé. Le résultat de cette dernière addition doit être égal à celui de la première. Cette preuve n'est que probable; car on pourrait commettre dans la seconde addition la même erreur que dans la première. La seule preuve rigoureuse de l'addition se trouve dans la soustraction (Voir plus bas, II, 2.). II. SOUSTRACTION. La soustraction a pour objet de retrancher un nombre d'un autre; le résultat de cette opération s'appelle reste, excès ou différence. 1. EXPLICATION DE LA SOUSTRACTION. Pour faire une soustraction, on écrit le nombre à soustraire au-dessous de l'autre nombre, de manière que les unités de même ordre se correspondent; on souligne le nombre inférieur pour le séparer du résultat; on retranche successivement, en commençant par la droite, chaque chiffre du nombre inférieur de son correspondant dans le nombre supérieur, et l'on écrit le reste au-dessous, ou zero, si le este n'est rien. Si le chiffre inférieur est plus grand que le chiffre supérieur, on ajoute à celui-ci dix unités pour rendre la soustraction possible, et lorsqu'on passe à la colonne suivante, on augmente le chiffre inférieur d'une seule unité, qui vaut les dix unités ajoutées au nombre supérieur. Ex. : 802617 547745 2. PREUVE DE LA SOUSTRACTION PAR L'ADDITION. La preuve de la soustraction se fait par l'addition du reste avec le plus petit nombre; si la première opération est exacte, la seconde doit reproduire le plus grand nombre. PREUVE DE L'ADDITION PAR LA SOUSTRACTION. Lorsqu'on n'a ajouté que deux nombres, on peut faire la preuve de l'addition en retranchant du total l'un des nombres, et l'on reproduit l'autre. N° 3. Multiplication. I. Définition particulière au cas des nombres entiers. - 2. Qu'appelle-t-on multiplicande, multiplicateur, produit, facteurs? 3. Espèce des unités du produit. 4. Table de Pythagore. 5. Multiplication par un nombre 6. Multiplication par un nombre com- posé d'un seul chiffre suivi de plusieurs zéros. —7. Multi- plication par un nombre de plusieurs chiffres. — 8. Cas où 1. DÉFINITION PARTICULIÈRE AU CAS DES NOMBRES ENTIERS. La multiplication est une opération par laquelle on répète un nombre autant de fois qu'il y a d'unités dans un autre. 2. MULTIPLICANDE, MULTIPLICATEUR, PRODUIT ET FACTEurs. Le nombre à multiplier s'appelle multiplicande; celui par lequel on multiplie, multiplicateur, et le résultat de l'opération, produit. Le multiplicande et le multiplicateur se nomment con- jointement facteurs du produit, parce qu'ils servent à le former. 3. ESPÈCE DES UNITÉS DU PRODUIT. Les unités du produit sont de même espèce que celles du multiplicande, puisqu'il n'est autre chose que ce multiplicande ajouté successivement à lui- 4. TABLE DE PYTHAGORE. La multiplication des nombres com- posés se réduit à trouver les produits réciproques des neuf pre- miers nombres. Ces produits sont contenus dans la table sui- même; la seconde en ajoutant 2; la troisième en ajoutant 3, et ainsi de suite. Pour trouver, dans cette table, le produit de deux nombres simples, on cherche le multipli- cande dans la bande supérieure, descend verticalement jusqu'à ce qu'on soit vis-à-vis du multipli cateur qu'on trouvera dans la pre- lequel on s'arrête est le produit 5. MULTIPLICATION PAR UN NOMBRE D'UN SEUL CHIFFRE. La mul- |